Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число какова

Примеры решения задач. Пример 1.Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число

Пример 1.Датчик случайных чисел генерирует двузначное случайное число. Какова вероятность того, что сгенерированное число делитсяна 5?

Решение. Так как всего 90 двузначных чисел (от 10 до 99), то общее число исходов n=90. Число исходов, благоприятствующих нашему событию, равно k =17. Поэтому по формуле (2.1) получаем p = 17/90= 0,189.

Пример 2.Одновременно бросаются два кубика (игральные кости). Найти вероятность того, что суммарное число выпавших очков меньше 5.

Решение. Найдем n — общее число исходов. Так как с каждой из 6 граней одного кубика возможно появление любой из 6 граней другого кубика, то согласно правилу произведения n = 6 2 = 36. Число благоприятствующих исходов найдем простым их пересчетом: 1+1, 1+2, 1+3, 2+1, 2+2, 3+1, т.е. k=6. Следовательно, по формуле (2.1) p = k / n = 6/36= 1/6.

Пример 3.В урне находятся 13 белых и 17 черных шаров. Извлекаются 5 шаров. Найти вероятности событий: А = <извлечено два белых шара>, В = <извлечен хотя бы один белый шар>.

Решение. Найдем общее число исходов. Вытащить 5 шаров – означает составить группу из 5 шаров, если всего их 30, причем порядок извлечения шаров безразличен. Значит, речь идет о сочетаниях по 5 элементам из 30. Число таких сочетаний равно C 5 ₃₀ , и по формуле (2.4)

Найдем число исходов, благоприятствующих событию A. Исход благоприятствует A, если из 13 белых шаров извлечем два, а из 17 черных шаров — три, причем порядок извлечения безразличен. Поэтому согласно правилу произведения число исходов, благоприятствующих А, равно

Чтобы решить вторую часть задачи, введем в рассмотрение противоположное событие B = <извлечены все черные шары>. Число исходов, благоприятствующих B , равно k₂ = C 5 ₁₇ = 6188. Значит, P(B) = k₂ /n = 0,043 и P(B) =1− P(B) = 0,957.

Пример 4.Слово АБРАКАДАБРА разрезается на буквы, которые затем буквы перемешиваются. Одна за другой вытаскиваются 5 букв и прикладываются друг к другу слева направо. Найти вероятности событий: A = <случайно сложится слово РАДАР>, B = <случайно сложится слово БАРКА>.

Решение. Находим n — общее число исходов. Всего 11 букв, из них набирается группа в 5 букв, порядок внутри должен учитываться (ибо слово — упорядоченная группа букв). Значит, речь идет о размещении. По формуле (2.2) A 5 ₁₁ = 11·10·9·8·7 = 55440.

Найдем число исходов, благоприятствующих слову РАДАР. В исходном слове АБРАКАДАБРА содержится 2 буквы «Р», 5 букв «А», 1 буква «Д». Поэтому в слове РАДАР первую букву «Р» можно выбрать двумя способами, а вторую — всего лишь одним (одна «Р» уже взята). Первую букву «А» можно выбрать 5 способами, вторую — 4 способами. Букву «Д» — одним способом. По правилу произведения число благоприятствующих исходов равно k₁ = 2·5·1·4·1= 40. Следовательно, P(A) = k₁/n = 40/ 55440 = 7,22 ⋅10 -4 .

Аналогично число исходов, благоприятствующих слову БАРКА, равно k₂ = 2·5· 2·1·4 = 80. Следовательно, P(B) = k₂ /n = 80/55440 =1,44 ⋅10 -3 .

Пример 5.Десять книг, из которых три по математике, случайным образом расставляются на полке. Найти вероятность того, что книги по математике окажутся рядом.

Решение. Общее число исходов равно числу перестановок из 10 книг, т.е. согласно (2.3) n = P10 =10!. Чтобы найти число благоприятствующих исходов, рассмотрим одну фиксированную расстановку книг на полке (cм. рис.).

Здесь первые три позиции занимают книги по математике, на 4-10 позициях поставлены остальные семь книг. Сколькими способами можно получить такую расстановку? На первых трех позициях книги по математике можно расставить k₁ = P₃ = 3! способами, на остальных позициях другие книги можно расставить k₂ = P₇ = 7! способами. Поэтому согласно правилу произведения вся расстановка книг, изображенная на рис. , может быть получена k₃ = k₁ ⋅ k₂ = 3!⋅7! способами. Чтобы получить все требуемые условием задачи расстановки книг, нужно тройку книг по математике переставить с 1-3 позиций на 2-4, 3-5. 8-10 позиции, не изменяя порядок расположения книг внутри «математической» и «нематематической» групп. Таких «сдвижек» будет 8, и для каждой такой «сдвижки» возможна перестановка книг внутри «математической» и «нематематической» групп k₃ способами. Значит, общее число благоприятствующих исходов равно k = 8k₃ = 8⋅3!⋅7!. Вероятность события находим по формуле (2.1) и получаем p = k/n = 8 ⋅ 3! ⋅ 7!/10! =1/15 = 0,067.

Пример 6.Пять мужчин и десять женщин случайным образом по трое рассаживаются за 5 столиков. Какова вероятность того, что за каждым столиком окажется мужчина?

Решение. Найдем сначала общее число исходов. За первый столик могут сесть любые три человека из 15, такая посадка осуществляется n₁ = C 3 ₁₅ способами. За второй столик может сесть любая тройка из оставшихся 12 человек, такая посадка осуществляется n₂ = C 3 ₁₂ способами.

Аналогично посадку за 3,4,5 столики можно осуществить n₃ = C 3 ₉ , n₄ = C 3 ₆ , n₂ = C 3 ₃ способами. Поэтому по правилу произведения общее число исходов равно

Аналогично одного мужчину и две женщины за первый столик можно посадить k₁ = 5⋅C 2 ₁₀ способами, за второй, третий, четвертый, пятый столики — соответственно k₂ = 4⋅C 2 ₈ , k₃ = 3⋅C 2 ₆ , k₁ = 2⋅C 2 ₄ , k₁ = 1 способами. Значит, число благоприятствующих исходов равно

Дата добавления: 2015-01-12 ; просмотров: 8 | Нарушение авторских прав

Источник

Подробно о генераторах случайных и псевдослучайных чисел

Введение

Генераторы случайных чисел — ключевая часть веб-безопасности. Небольшой список применений:

• Генераторы сессий (PHPSESSID)
• Генерация текста для капчи
• Шифрование
• Генерация соли для хранения паролей в необратимом виде
• Генератор паролей
• Порядок раздачи карт в интернет казино

Как отличить случайную последовательность чисел от неслучайной?

Пусть есть последовательность чисел: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Является ли она случайной? Есть строгое определение для случайной величины. Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Но оно не помогает ответить на наш вопрос, так как нам не хватает информации для ответа. Теперь скажем, что данные числа получились набором одной из верхних строк клавиатуры. «Конечно не случайная» — воскликните Вы и тут же назовете следующие число и будете абсолютно правы. Последовательность будет случайной только если между символами, нету зависимости. Например, если бы данные символы появились в результате вытягивания бочонков в лото, то последовательность была бы случайной.

Чуть более сложный пример или число Пи

Последовательность цифры в числе Пи считается случайной. Пусть генератор основывается на выводе бит представления числа Пи, начиная с какой-то неизвестной точки. Такой генератор, возможно и пройдет «тест на следующий бит», так как ПИ, видимо, является случайной последовательностью. Однако этот подход не является критографически надежным — если криптоаналитик определит, какой бит числа Пи используется в данный момент, он сможет вычислить и все предшествующие и последующие биты.
Данный пример накладывает ещё одно ограничение на генераторы случайных чисел. Криптоаналитик не должен иметь возможности предсказать работу генератора случайных чисел.

Отличие генератора псевдослучайных чисел (ГПСЧ) от генератора случайных чисел (ГСЧ)

Источники энтропии используются для накопления энтропии с последующим получением из неё начального значения (initial value, seed), необходимого генераторам случайных чисел (ГСЧ) для формирования случайных чисел. ГПСЧ использует единственное начальное значение, откуда и следует его псевдослучайность, а ГСЧ всегда формирует случайное число, имея в начале высококачественную случайную величину, предоставленную различными источниками энтропии.
Энтропия – это мера беспорядка. Информационная энтропия — мера неопределённости или непредсказуемости информации.
Можно сказать, что ГСЧ = ГПСЧ + источник энтропии.

Уязвимости ГПСЧ

• Предсказуемая зависимость между числами.
• Предсказуемое начальное значение генератора.
• Малая длина периода генерируемой последовательности случайных чисел, после которой генератор зацикливается.

Линейный конгруэнтный ГПСЧ (LCPRNG)

Распространённый метод для генерации псевдослучайных чисел, не обладающий криптографической стойкостью. Линейный конгруэнтный метод заключается в вычислении членов линейной рекуррентной последовательности по модулю некоторого натурального числа m, задаваемой следующей формулой:

где a (multiplier), c (addend), m (mask) — некоторые целочисленные коэффициенты. Получаемая последовательность зависит от выбора стартового числа (seed) X0 и при разных его значениях получаются различные последовательности случайных чисел.

Для выбора коэффициентов имеются свойства позволяющие максимизировать длину периода(максимальная длина равна m), то есть момент, с которого генератор зациклится [1].

Пусть генератор выдал несколько случайных чисел X0, X1, X2, X3. Получается система уравнений

Решив эту систему, можно определить коэффициенты a, c, m. Как утверждает википедия [8], эта система имеет решение, но решить самостоятельно или найти решение не получилось. Буду очень признателен за любую помощь в этом направлении.

Предсказание результатов линейно-конгруэнтного метода

Основным алгоритмом предсказания чисел для линейно-конгруэнтного метода является Plumstead’s — алгоритм, реализацию, которого можно найти здесь [4](есть онлайн запуск) и здесь [5]. Описание алгоритма можно найти в [9].
Простая реализация конгруэнтного метода на Java.

Отправив 20 чисел на сайт [4], можно с большой вероятностью получить следующие. Чем больше чисел, тем больше вероятность.

Взлом встроенного генератора случайных чисел в Java

Многие языки программирования, например C(rand), C++(rand) и Java используют LСPRNG. Рассмотрим, как можно провести взлом на примере java.utils.Random. Зайдя в исходный код (jdk1.7) данного класса можно увидеть используемые константы

Метод java.utils.Randon.nextInt() выглядит следующим образом (здесь bits == 32)

Результатом является nextseed сдвинутый вправо на 48-32=16 бит. Данный метод называется truncated-bits, особенно неприятен при black-box, приходится добавлять ещё один цикл в brute-force. Взлом будет происходить методом грубой силы(brute-force).

Пусть мы знаем два подряд сгенерированных числа x1 и x2. Тогда необходимо перебрать 2^16 = 65536 вариантов oldseed и применять к x1 формулу:

до тех пор, пока она не станет равной x2. Код для brute-force может выглядеть так

Вывод данной программы будет примерно таким:

Несложно понять, что мы нашли не самый первый seed, а seed, используемый при генерации второго числа. Для нахождения первоначального seed необходимо провести несколько операций, которые Java использовала для преобразования seed, в обратном порядке.

И теперь в исходном коде заменим
crackingSeed.set(seed);
на
crackingSeed.set(getPreviousSeed(seed));

И всё, мы успешно взломали ГПСЧ в Java.

Взлом ГПСЧ Mersenne twister в PHP

Рассмотрим ещё один не криптостойкий алгоритм генерации псевдослучайных чисел Mersenne Twister. Основные преимущества алгоритма — это скорость генерации и огромный период 2^19937 − 1, На этот раз будем анализировать реализацию алгоритма mt_srand() и mt_rand() в исходном коде php версии 5.4.6.

Можно заметить, что php_mt_reload вызывается при инициализации и после вызова php_mt_rand 624 раза. Начнем взлом с конца, обратим трансформации в конце функции php_mt_rand(). Рассмотрим (s1 ^ (s1 >> 18)). В бинарном представление операция выглядит так:

10110111010111100111111001110010 s1
00000000000000000010110111010111100111111001110010 s1 >> 18
10110111010111100101001110100101 s1 ^ (s1 >> 18)
Видно, что первые 18 бит (выделены жирным) остались без изменений.
Напишем две функции для инвертирования битового сдвига и xor

Тогда код для инвертирования последних строк функции php_mt_rand() будет выглядеть так

Если у нас есть 624 последовательных числа сгенерированных Mersenne Twister, то применив этот алгоритм для этих последовательных чисел, мы получим полное состояние Mersenne Twister, и сможем легко определить каждое последующее значение, запустив php_mt_reload для известного набора значений.

Область для взлома

Если вы думаете, что уже нечего ломать, то Вы глубоко заблуждаетесь. Одним из интересных направлений является генератор случайных чисел Adobe Flash(Action Script 3.0). Его особенностью является закрытость исходного кода и отсутствие задания seed’а. Основной интерес к нему, это использование во многих онлайн-казино и онлайн-покере.
Есть много последовательностей чисел, начиная от курса доллара и заканчивая количеством времени проведенным в пробке каждый день. И найти закономерность в таких данных очень не простая задача.

Задание распределения для генератора псевдослучайных чисел

Для любой случайной величины можно задать распределение. Перенося на пример с картами, можно сделать так, чтобы тузы выпадали чаще, чем девятки. Далее представлены несколько примеров для треугольного распределения и экспоненциального распределения.

Треугольное распределение

Приведем пример генерации случайной величины с треугольным распределением [7] на языке C99.

В данном случае мы берем случайную величину rand() и задаем ей распределение, исходя из функции треугольного распределения. Для параметров a = -40, b = 100, c = 50 график 10000000 измерений будет выглядеть так

Экспоненциальное распределение

Пусть требуется получить датчик экспоненциально распределенных случайных величин. В этом случае F(x) = 1 – exp(-lambda * x). Тогда из решения уравнения y = 1 – exp(-lambda * x) получаем x = -log(1-y)/lambda.
Можно заметить, что выражение под знаком логарифма в последней формуле имеет равномерное распределение на отрезке [0,1), что позволяет получать другую, но так же распределённую последовательность по формуле: x = -log(y)/lambda, где y есть случайная величина(rand()).

Тесты ГПСЧ

Некоторые разработчики считают, что если они скроют используемый ими метод генерации или придумают свой, то этого достаточно для защиты. Это очень распространённое заблуждение. Следует помнить, что есть специальные методы и приемы для поиска зависимостей в последовательности чисел.

Одним из известных тестов является тест на следующий бит — тест, служащий для проверки генераторов псевдослучайных чисел на криптостойкость. Тест гласит, что не должно существовать полиномиального алгоритма, который, зная первые k битов случайной последовательности, сможет предсказать k+1 бит с вероятностью большей ½.

В теории криптографии отдельной проблемой является определение того, насколько последовательность чисел или бит, сгенерированных генератором, является случайной. Как правило, для этой цели используются различные статистические тесты, такие как DIEHARD или NIST. Эндрю Яо в 1982 году доказал, что генератор, прошедший «тест на следующий бит», пройдет и любые другие статистические тесты на случайность, выполнимые за полиномиальное время.
В интернете [10] можно пройти тесты DIEHARD и множество других, чтобы определить критостойкость алгоритма.

Источник